Une application : irrationalité d'un cosinus

L'objectif de cet exercice est de démontrer que \(\text{cos}\left(\dfrac\pi 9\right)\) est un nombre irrationnel à l'aide du résultat suivant (admis).
Propriété (admise)
L'équation \(8x^3-6x-1=0\) n'admet pas de solutions rationnelles.

1. Écrire  \(\text{cos}\left(\dfrac\pi 3\right)\) en fonction de  \(\text{cos}\left(\dfrac\pi 9\right)\) . On pourra remarquer que  \(\text{cos}\left(\dfrac \pi 3\right)=\text{cos}\left(\dfrac {2\pi} 9+\dfrac {\pi} 9 \right)\) .
2. Démontrer que \(4\text{cos}^3\left(\dfrac\pi 9\right)-3\text{cos}\left(\dfrac\pi 9\right)=\dfrac1 2\) .
3. Conclure.